Периодические модели квантовой химии
IV курс, VIII семестр, специализация «Функциональные наноматериалы», спецкурс по выбору
К.ф.-м.н. А.В. Щербинин, Химический факультет МГУ, кафедра физической химии
2011г.
Курс читается по пятницам, 16:45, ауд. 524 Химического факультета. Первая лекция — 18 февраля 2011г.
Аннотация
Предлагаемый курс лекций задуман как краткое и максимально доступное введение в современные методы моделирования строения и свойств вещества в конденсированной фазе. В отличие, например, от традиционных курсов теории твердого тела, читаемых для физиков, здесь упор делается не на рассмотрение конкретных фактов, касающихся строения вещества в твердом состоянии, и не на их объяснение на основе каких-то моделей и представлений. Задача данного спецкурса скорее в том, чтобы показать, какие средства и возможности (включая свободно распространяемые компьютерные программы) имеются на сегодняшний день в арсенале исследователя — физика или химика, занимающегося теоретическим моделированием строения свойств конденсированного вещества на основе первых принципов.
Важно отметить, что под теоретическим моделированием здесь подразумевается не занятие какими-то абстракциями, а, напротив, изучение конкретных экспериментальных явлений. Просто в роли метода исследования здесь выступает численный эксперимент на компьютере. Этот вид эксперимента ни в коем случае не отменяет реальный физический (или химический) эксперимент, но служит очень важным дополнением к нему, потому что позволяет взглянуть на изучаемое явление на самом фундаментальном, атомистическом уровне. А для полноценного взгляда здесь необходимо иметь набор адекватных первичных представлений, основанных на принципах квантовой механики. Вот именно этим первичным представлениям и посвящен данный курс.
Предполагаемая аудитория спецкурса — студенты, аспиранты и научные сотрудники, желающие ознакомиться с теоретическими основами моделирования конденсированных сред. Предварительных знаний по физике твердого тела не требуется, предполагается лишь наличие знакомство слушателей с квантовой механикой в объеме стандартного курса, читаемого, например, студентам Химического факультета.
Материалы лекций
Программа
Теоретические разделы:
I. Простейшие атомистические модели твердого тела.
- Продольные и поперечные нормальные колебания бесконечной одноатомной цепочки. Волновое число, дисперсия частоты, первая зона Бриллюэна.
- Плотность колебательных состояний бесконечной одноатомной цепочки как функция волнового числа и как функция частоты. Особые точки.
- Продольные нормальные колебания линейной двухатомной цепочки. Акустическая и оптическая ветви, первая зона Бриллюэна.
II. Трансляционная симметрия и ее применения.
- Трансляционная симметрия. Оператор трансляции и его собственные функции. Теорема Блоха.
- Групповые свойства трансляций. Группа трансляций бесконечной одноатомной цепочки, ее неприводимые представления, связь с волновым числом.
- Нормальные колебания бесконечной одноатомной цепочки с периодическими граничными условиями. Дискретный спектр частот, семплирование зоны Бриллюэна, формы колебаний.
- Циклическая симметрия задачи о колебаниях цепочки с периодическим граничным условием. Неприводимые представления циклической группы. Построение симметризованных смещений атомов с использованием аппарата теории групп.
- Двумерные и трехмерные решетки Браве. Базис кристаллической решетки, примеры кристаллов с различным базисом. Трансляционная симметрия двумерных и трехмерных кристаллов.
- Биортогональные базисы и их свойства. Базис обратной решетки и примеры его построения для простейших двух- и трехмерных решеток (прямоугольная примитивная, квадратная, двумерная гексагональная, орторомбическая примитивная, кубическая примитивная). Характеры трехмерной трансляционной группы.
III. Расчет колебаний кристаллических решеток.
- Теория колебаний решеток из «первых принципов». Общая формулировка задачи для модели идеального бесконечного кристалла. Гармоническое приближение, матрица силовых постоянных, ее трансляционная симметрия.
- Учет периодических граничных условий Борна-Кармана. Циклическая симметрия, симметризованные смещения и смысл их введения. Динамическая матрица. Расчет дисперсионных зависимостей частот.
- Модельный расчет и качественное обсуждения закона дисперсии колебаний трехмерного кристалла на примере простой кубической решетки.
Задачи
- Вывести закон дисперсии колебаний конечной одно- и двухатомной цепочки при различных типах граничных условий (условия Дирихле, периодические условия).
- Построить симметризованные смещения атомов в бесконечной N-атомной цепочке (N — произвольное число), определить количество ветвей закона дисперсии.
- Построить базис обратной решетки для случая, когда исходная решетка:
- плоская ромбическая,
- трехмерная гексагональная.
- Вывести закона дисперсии колебаний для:
- простой квадратной решетки,
- простой кубической решетки
